Esta pergunta é o “calcanhar de aquiles” de quase todo tradutor, e não é para menos: ela equivale a perguntar a qualquer profissional qualificado – seja pela prática por um título – se não bastaria a alguém com conhecimentos gerais sobre sua profissão para exercê-la.
Ainda que a profissão de tradutor não seja regulamentada em muitos países, o que significa dizer que para ser tradutor não é preciso obrigatoriamente nenhuma formação específica, isso não quer dizer que as coisas funcionem desta forma na prática.

É possível encontrar muitos tradutores no mercado que não possuem bacharelado em tradução ou em qualquer outro curso na área de Linguística, mas isso não quer dizer que eles não possuem nenhuma formação técnica ou superior na área de formação. Por isso mesmo, a resposta à pergunta é do título é “não”, mas isso caso você deseje se inteirar sobre a formação necessária para ser um bom tradutor.
Obviamente, a premissa para ser tradutor é conhecer ao menos uma língua estrangeira, mas lançar-se a este ofício exigirá muito mais que isso do profissional da área da tradução.
Para começar, a tradução é uma profissão complexa, que apresenta várias especializações temáticas e por meios. Por isso os tradutores costumam especializar-se em temas específicos, a exemplos da tradução jurídica, médica ou para órgãos públicos, e também em meios com linguagem específica, como a tradução literária, técnica ou audiovisual.
Em todos estes casos a língua é utilizada de forma particular no exercício da profissão e não basta o conhecimento dos idiomas de origem e destino: é preciso adequar-se às particularidades da linguagem da área ou meio para fazer um bom trabalho. Logo, nenhum tradutor traduz todo e qualquer tipo de conteúdo, as especializações variam e o cliente precisa estar ciente disso ao buscar profissionais e agências de tradução.
Outro ponto fundamental é que, apesar de exercer uma profissão não regulamentada e que não exige uma formação específica como ponto de partida, o bom tradutor nunca para de pesquisar e de se atualizar. Afinal, as terminologias das várias especializações mudam, as técnicas se aprimoram e as ferramentas disponíveis para auxiliar o tradutor em seu ofício se atualização.
Assim, atualizar-se também faz parte da rotina do bom tradutor, que está muito longe de ser só alguém que é bilíngue.